[100일차] 골드바흐의 추측 - 백준 - 6588(python - 정수론, 소수 판정, 에라토스테네스의 체)

문제 설명

1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

 

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 "Goldbach's conjecture is wrong."을 출력한다.

 

예제 입력, 예제 출력

3 16	3 5 7 11 13

 

코드 및 설명

import sys
import math

arr = [ True ] * 1000001

for i in range(2, int(math.sqrt(1000001))+1):
  if arr[i] == True:
    for j in range(i+i, 1000001, i):
      arr[j] = False

while True:
  n = int(sys.stdin.readline())  
  check = 0
  
  if n == 0:
    break
  else:
    for i in range(3, len(arr)):
      if arr[i] and arr[n-i]:
        print(f"{n} = {i} + {n-i}")
        check = 1
        break
    
    if check == 0:
      print("Goldbach's conjecture is wrong.")

 

이 문제는 에라토스테네스의 체를 이용하여 풀었다.

 

먼저 테스트 케이스의 길이가 (6 ≤ n ≤ 1000000)이라는 걸 보면 시간초과에 걸릴 확률이 아주 높다는 얘기가 된다.

 

그러므로 최대한 시간복잡도를 O(1)에 가깝게 만들어야한다.

 

arr에 1000001의 True값을 가진 배열을 만들어준다.

 

그 뒤 1000001까지 해당 약수의 값의 배수들을 False시켜준다. 그러면 범위 내에 있는 약수를 구할 수 있게 된다.

 

while문을 이용하여

 

테스트 케이스를 입력 받는다.

 

예제로 설명을 해보겠다.

 

8이 들어오면

 

0이 아니기 때문에 for문을 타게 되고, 3부터 arr의 길이(1000001)만큼 도는 데 arr[i]값이 True이고 arr[n-i]값도 True이면

 

8이 되기때문에 멈춰준다. 

 

3이 들어왔을 때 arr[3] 약수이기때문에 True일 것이고, 8-3 = arr[5]도 True이다. <-- 이 부분을 이해해야한다.

 

그럼 8 = 3 + 5 가 되기때문에 출력해주면 된다. 전부 다 돌았는 데도 check값이 0 이면 

 

print("Goldbach's conjecture is wrong.") 해주면 된다!